数学 : Σ記号(総和)

k を 1 から N まで変えながら、f(k)を足し合わせるような数式は、Σ記号を用いると以下のように表されます

$ \sum_{i=1}^N f(k) = f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(N)

$ \sum_{i=1}^N k = 1 + 2 + 3 + \cdots + N

$ \sum_{i=1}^N k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + N^2

1からNまでの整数の足し合わせ

数式で表すと以下のようになります。

$ 1 + 2 + 3 + \cdots + (N - 1) + N = \frac{1}{2}N(1 + N)

証明)

1からNまでの足し合わせたものと、前後を入れ替えたものを並べてみます。

$ \sum_{i=1}^N k = 1 + 2 + 3 + \cdots + (N - 2) + (N - 1) + N

$ \sum_{i=1}^N k = N + (N-1) + (N-2) + \cdots + 2 + 1

上下の式を足し合わせると、右辺は(N+1)がN個並んだような式になります。

$ 2\sum_{i=1}^N k = (N+1) + (N+1) + (N+1) + \cdots + (N+1) + (N+1)

つまり、以下のように書き表すことができます。

両辺を2で割ると以下のようになります(証明完了)